ARTE, NATURALEZA y MATEMÁTICA
El arte y la matemática han estado relacionados desde los inicios de la civilización. Ellos aparecen en todas las culturas. Es una relación profunda en donde se mezclan el sentido de la estética, la búsqueda de un ideal de perfección, la exploración del espacio tiempo y el reconocimiento de formas y patrones de repetición.
El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
La proporción juega un papel importante en el arte, el diseño y la naturaleza. La relación armoniosa entre las partes y el todo hacen que un objeto pueda producir emociones en quien lo contempla, en quien lo usa.
Y de todas las proporciones, la proporción de oro es la más frecuente.
Si partimos de un segmento y lo dividimos en dos partes, diremos que esa división es áurea si verifica que:
El número designado con letra griega Fi = 1,61803... , es llamado número áureo o número de oro y es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
Un rectángulo es áureo si sus lados son proporcionales a 1 y Fi.
Podés dibujar fácilmente un rectángulo áureo siguiendo estos pasos:
1) Dibujá un cuadrado y prolongá uno de sus lados
1) Dibujá un cuadrado y prolongá uno de sus lados
2) Marcá el centro del lado que habías prolongado y con centro en ese punto y tomando como radio la distancia que va de ese punto a uno de los vértices del lado opuesto, trazá un arco de circunferencia hasta que se corte con la prolongación del lado.
3) Usando este punto cerrá un rectángulo que comparta dos vértices con el cuadrado.
Y ya está. ¡Dibujaste un rectángulo áureo!
Y ya está. ¡Dibujaste un rectángulo áureo!
A partir de este rectángulo se construyen otros semejantes que se han utilizando en arquitectura, pintura y diseño.
En Pintura y Escultura también tuvo su apogeo el número áureo.
En la primera, se destaca un cuadro de Dalí pintado en 1949. Sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica.
En la segunda, los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere están relacionados según la sección áurea y en la Venus de Milo observamos también la aparición del número de oro (la altura total dividida la altura hasta el ombligo nos da el número de oro).
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| Leda Atómica - Apolo de Belvedere - La Venus de Milo |
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli, editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas.
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, las dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.
Diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro registro de conducir tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las marquillas de cigarrillos, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos llamaban a ese símbolo de cinco puntas pentalfa y consideraban que el 5 era el número de la armonía entre la salud y la belleza, pues era la combinación perfecta del 2 y el 3 (primer número par y primer número impar completo). Pentalfa = pent-alfa (cinco principios) .
La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.
La estrella pentagonal está por todas partes y representa las cosas más dispares. Es el símbolo de de los artistas en el Paseo de la Fama de Los Ángeles y el símbolo de muchos partidos revolucionarios. También es el símbolo de algunas religiones, sociedades secretas como los Masones, y es protagonista de multitudes de banderas.
La espiral logarítmica
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante.
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| Hombre de Vitruvio |
Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las partes de su cuerpo son proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. El cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, las dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.
La suceción de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de Fibonacci". Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1,61803...).
La serie de Fibonacci se puede encontrar también en botánica: ciertas flores tienen una cantidad de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión: 8 y 13 ó 5 y 8.
Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de Fibonacci". Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1,61803...).
La serie de Fibonacci se puede encontrar también en botánica: ciertas flores tienen una cantidad de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión: 8 y 13 ó 5 y 8.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos llamaban a ese símbolo de cinco puntas pentalfa y consideraban que el 5 era el número de la armonía entre la salud y la belleza, pues era la combinación perfecta del 2 y el 3 (primer número par y primer número impar completo). Pentalfa = pent-alfa (cinco principios) . La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.
La estrella pentagonal está por todas partes y representa las cosas más dispares. Es el símbolo de de los artistas en el Paseo de la Fama de Los Ángeles y el símbolo de muchos partidos revolucionarios. También es el símbolo de algunas religiones, sociedades secretas como los Masones, y es protagonista de multitudes de banderas.
Es clásica la forma pentagonal en las construcciones defensivas:
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| Villa Farnese en Roma y la Ciudadela de Pamplona |
Y, por supuesto, en la naturaleza:
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante.
A lo largo de la historia de las artes visuales han surgido diferentes teorías sobre la composición. Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una relación entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. La suma de las partes como todo, es la más perfecta relación de proporción.
MÚSICA y MATEMÁTICA
Se dice que hay matemática en la música, que la música y la matemática están muy relacionadas, pero… ¿Hay matemática en la música? ¿Qué relación existe entre ellas?
Se dice que Pitágoras acuñó la palabra matemática, que significa “lo que es aprendido”. Él describe un sistema que busca unificar los fenómenos del mundo físico y del mundo espiritual en términos de números, en particular, en términos de razones y proporciones de enteros.
Estudió la naturaleza de los sonidos musicales y fue quien descubrió que existe una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos”. Fue el primero en darse cuenta de que la música podía ser medida por medio de razones de números enteros.
Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la longitud, grosor y tensión de la misma. Entendemos que cualquiera de estas variables afecta la frecuencia de vibración de la cuerda. Pero lo que Pitágoras descubrió, es que al dividir una cuerda en ciertas proporciones, ésta era capaz de producir sonidos placenteros al oído.
Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la longitud, grosor y tensión de la misma. Entendemos que cualquiera de estas variables afecta la frecuencia de vibración de la cuerda. Pero lo que Pitágoras descubrió, es que al dividir una cuerda en ciertas proporciones, ésta era capaz de producir sonidos placenteros al oído.
Este concepto era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno. El mundo físico y el emocional podían ser descritos con número sencillos y existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles.
Platón reconoce la importancia del elemento matemático.
Dice que si a cualquier arte se le quita la aritmética, la medida, y lo pesable, lo que queda no es mucho.
También expresa que a través de la medida y la proporción siempre se llega a la belleza y a la excelencia.
Aristóteles expresa que están equivocados aquellos que claman que la matemática no dice nada acerca de la belleza y la bondad, y que los elementos de la belleza son el orden, la simetría, la limitación definida y que éstas son las propiedades a las cuales la matemática les pone atención. El punto de vista de la filosofía griega estaba inclinado a seleccionar la forma y la proporción como los elementos típicos de la belleza.
Leibniz describe a la música como "un ejercicio inconsciente en la Aritmética". Esta afirmación quizás se podría justificar sobre la base de que el músico intérprete cuenta los tiempos del compás cuando comienza a estudiar una obra pero después de un tiempo de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluir la magia de la música. Sin embargo casi todos los "elementos externos" de la música se definen numéricamente: 12 notas por octava; compás de 3/4, 7/8; 5 líneas en el pentagrama; etc.
En 1739, Euler desarrolló una teoría de consonancia basada en la ley pitagórica. Entre más pequeños sean los números que expresan la relación de vibración de dos notas, éstas serán más consonantes. De ésta forma, Euler estableció un criterio de armonicidad de cualquier intervalo o acorde que concuerda con los hechos observados.
Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió un "Juego de Dados Musical” para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición. Mediante un simple cálculo, utilizando conceptos del Álgebra Superior, se tienen 11 a la 14 valses diferentes, es decir, aproximadamente 3.797.498.335.832 valses diferentes.
Mozart era un aficionado a la matemática y su enorme talento se mostró una vez más. Con este jueguito tan sencillo dejó la imposibilidad de que intérprete alguno pudiera tocar su obra completa o de que alguna compañía de discos la grabara.
Bela Bartok, alrededor de 1915 desarrolló un método para integrar todos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes con los motivos melódicos apropiados, proporciones de longitud, tanto de la obra en general como los de la exposición, desarrollo, reexposición, frases de conexión entre movimientos etc.) basado en la razón áurea.
En 1924 George David Birkhoff retoma unas ideas que había tenido años atrás pero que no desarrolló por dedicarse exclusivamente a estudios puramente matemáticos. Pensó que la melodía dependía del orden de las notas escuchadas por el oído. Le pareció que podrían establecerse unas relaciones de orden, guardadas por las notas, y así poder escoger las mejores melodías. Para él, el problema fundamental de la Estética era el de determinar, para una clase de objetos, las características específicas de las cuales depende el valor estético.
Uno de los proyectos más interesantes que actualmente se desarrollan en este campo es la "Teoría Matemática de la Música" de Guerino Mazzola. Una de las principales metas de esta Teoría es la de desarrollar un marco científico para la Musicología. Si bien la música está enraizada con realidades físicas, psicológicas y semióticas, la descripción formal de las instancias musicales corresponde al formalismo matemático.
Y bien, ¿qué relación existe entre la música y la matemática?
Es decir, ¿qué conexión o correspondencia existe?
Hemos visto cómo se han aplicado conceptos matemáticos (provenientes al fin y al cabo de la naturaleza, del pensamiento abstracto del hombre, etc.) al entretenimiento con un juego de dados, a la Estética, a la Composición Musical y a la creación de un lenguaje preciso para la Musicología y la Música entre otros.
Algunos piensan que la Matemática es un juego simple, que sola y fríamente interesa al intelecto. Esto sería el olvidar la sensación de la belleza matemática, de la armonía de los números y las formas, así como de la elegancia geométrica.
Esta es ciertamente una sensación de placer estético que todo verdadero matemático ha sentido y por supuesto que pertenece al campo de la emoción sensible. La belleza y la elegancia matemática consiste en que todos los elementos están dispuestos armónicamente de manera tal que nuestra mente pueda abarcarlos, y de eso se trata la música. Si solamente fuera la rutina de aplicar reglas, las combinaciones obtenidas serían exageradamente numerosas, inútiles o extrañas.
Esta es ciertamente una sensación de placer estético que todo verdadero matemático ha sentido y por supuesto que pertenece al campo de la emoción sensible. La belleza y la elegancia matemática consiste en que todos los elementos están dispuestos armónicamente de manera tal que nuestra mente pueda abarcarlos, y de eso se trata la música. Si solamente fuera la rutina de aplicar reglas, las combinaciones obtenidas serían exageradamente numerosas, inútiles o extrañas.
LA ESCALA PITAGÓRICA DIATÓNICA
Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis).
Encontró que al dividir una cuerda a la mitad producía un sonido que era una octava más agudo que el original y que cuando la razón era 2/3 se producía una quinta y que otras razones sencillas producían sonidos agradables.
Pitágoras no sabía nada de armónicos. El sólo sabía que la longitud de la cuerda
con las razones 1/2 y 2/3 producía unas combinaciones de sonidos agradables y
construyó una escala a partir de estas proporciones: la Escala Pitagórica Diatónica Mayor (do, re, mi, fa, sol, la, si, do).
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